Blog educativ: Derivata partiala

Ca și derivata obișnuită, derivata parțială se definește ca o limită. Fie U o submulțime deschisă a lui Rⁿ și f : U → R o funcție. Definim derivata parțială a lui f în punctul a = (a₁, ..., a_n) ∈ U în raport cu variabila a i-a x_i ca

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Chiar dacă toate derivatele parțiale $\frac{\partial f}{\partial x_i} (a)$ există într-un punct a, funcția derivată nu este în mod necesar continuă în acel punct. Totuși, dacă toate derivatele parțiale există într-o vecinătate a lui a și sunt continue în acea vecinătate, atunci f este derivabilă total în acea vecinătate și derivata totală este continuă. În acest caz, spunem că f este o funcție de clasă C¹. Putem folosi acest fapt pentru a generaliza pentru funcții vectoriale (f : U → R'^m) folosind un argument pe componente.
Derivata parțială $\frac{\partial f}{\partial x}$ poate fi văzută ca o altă funcție definită pe U care poate fi mai departe derivată parțial. Dacă toate derivatele parțiale mixte de ordinul doi sunt continue într-un punct (sau pe o mulțime), numim funcția f funcție de clasă C² în acel punct (sau pe acea mulțime); în acest caz, derivatele parțiale pot fi interschimbate conform teoremei lui Clairaut:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.$

Blog educativ

miercuri, 26 octombrie 2011

Derivata partiala

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu